«аукайся» по составу

Части слова: ау/ка/й/ся
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
ау — корень,
ка, й, ся — суффиксы,
нет окончания,
аукайся — основа слова.

Примечание: ся является словообразующим суффиксом (постфиксом) и входит в основу слова.