«брыкаются» по составу

Части слова: брык/а/ют/ся
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
брык — корень,
а, ся — суффиксы,
ют — окончание,
брыка + ся — основа слова.

Примечание: ся является словообразующим суффиксом (постфиксом) и входит в основу слова.