«доиграются» по составу

Части слова: до/игр/а/ют/ся
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
до — приставка,
игр — корень,
а, ся — суффиксы,
ют — окончание,
доигра + ся — основа слова.

Примечание: ся является словообразующим суффиксом (постфиксом) и входит в основу слова.