«катайся» по составу

Части слова: кат/а/й/ся
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
кат — корень,
а, й, ся — суффиксы,
нет окончания,
катайся — основа слова.

Примечание: ся является словообразующим суффиксом (постфиксом) и входит в основу слова.