«катайтесь» по составу

Части слова: кат/а/й/те/сь
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
кат — корень,
а, й, сь — суффиксы,
те — окончание,
катай + сь — основа слова.

Примечание: сь является словообразующим суффиксом (постфиксом) и входит в основу слова.