«квадратно-гнездовой» по составу

Части слова: квадр/ат/н/о/-/гнезд/ов/ой

Состав слова (морфемы):
квадр, гнезд — корни,
о — соединительная гласная,
ат, н, ов — суффиксы,
ой — окончание,
квадратно-гнездов — основа слова.