«кутаюсь» по составу

Части слова: кут/а/ю/сь
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
кут — корень,
а, сь — суффиксы,
ю — окончание,
кута + сь — основа слова.

Примечание: сь является словообразующим суффиксом (постфиксом) и входит в основу слова.