«настояться» по составу

Части слова: на/сто/я/ть/ся
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
на — приставка,
сто — корень,
я, ть, ся — суффиксы,
нет окончания,
настоя + ся — основа слова.

Примечание: ть является формообразующим суффиксом и не входит в основу слова, но во многих школьных программах ть отмечается как окончание. ся является словообразующим суффиксом (постфиксом) и входит в основу слова.