«покашливали» по составу

Части слова: по/кашл/ива/л/и
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
по — приставка,
кашл — корень,
ива, л — суффиксы,
и — окончание,
покашлива — основа слова.

Примечание: л является формообразующим суффиксом и не входит в основу слова.