«полюбопытствовали» по составу

Части слова: по/любопыт/ств/ова/л/и
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
по — приставка,
любопыт — корень,
ств, ова, л — суффиксы,
и — окончание,
полюбопытствова — основа слова.

Примечание: л является формообразующим суффиксом и не входит в основу слова.