«помозговать» по составу

Части слова: по/мозг/ова/ть
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
по — приставка,
мозг — корень,
ова, ть — суффиксы,
нет окончания,
помозгова — основа слова.

Примечание: ть является формообразующим суффиксом и не входит в основу слова, но во многих школьных программах ть отмечается как окончание.