«попутешествовать» по составу

Части слова: по/пут/е/ше/ств/ова/ть
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
по — приставка,
пут, ше — корни,
е — соединительная гласная,
ств, ова, ть — суффиксы,
нет окончания,
попутешествова — основа слова.

Примечание: ть является формообразующим суффиксом и не входит в основу слова, но во многих школьных программах ть отмечается как окончание.