«похвастаются» по составу

Части слова: по/хваст/а/ют/ся
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
по — приставка,
хваст — корень,
а, ся — суффиксы,
ют — окончание,
похваста + ся — основа слова.

Примечание: ся является словообразующим суффиксом (постфиксом) и входит в основу слова.