«прошиться» по составу

Части слова: про/ши/ть/ся
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
про — приставка,
ши — корень,
ть, ся — суффиксы,
нет окончания,
проши + ся — основа слова.

Примечание: ть является формообразующим суффиксом и не входит в основу слова, но во многих школьных программах ть отмечается как окончание. ся является словообразующим суффиксом (постфиксом) и входит в основу слова.