«разгадывали» по составу

Части слова: раз/гад/ыва/л/и
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
раз — приставка,
гад — корень,
ыва, л — суффиксы,
и — окончание,
разгадыва — основа слова.

Примечание: л является формообразующим суффиксом и не входит в основу слова.