«разгневается» по составу

Части слова: раз/гнев/а/ет/ся
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
раз — приставка,
гнев — корень,
а, ся — суффиксы,
ет — окончание,
разгнева + ся — основа слова.

Примечание: ся является словообразующим суффиксом (постфиксом) и входит в основу слова.