«раскашляются» по составу

Части слова: рас/кашл/я/ют/ся
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
рас — приставка,
кашл — корень,
я, ся — суффиксы,
ют — окончание,
раскашля + ся — основа слова.

Примечание: ся является словообразующим суффиксом (постфиксом) и входит в основу слова.