«убаюкиваться» по составу

Части слова: у/баю/к/ива/ть/ся
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
у — приставка,
баю — корень,
к, ива, ть, ся — суффиксы,
нет окончания,
убаюкива + ся — основа слова.

Примечание: ть является формообразующим суффиксом и не входит в основу слова, но во многих школьных программах ть отмечается как окончание. ся является словообразующим суффиксом (постфиксом) и входит в основу слова.