«увеселяли» по составу

Части слова: у/весел/я/л/и
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
у — приставка,
весел — корень,
я, л — суффиксы,
и — окончание,
увеселя — основа слова.

Примечание: л является формообразующим суффиксом и не входит в основу слова.