«умудряется» по составу

Части слова: у/мудр/я/ет/ся
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
у — приставка,
мудр — корень,
я, ся — суффиксы,
ет — окончание,
умудря + ся — основа слова.

Примечание: ся является словообразующим суффиксом (постфиксом) и входит в основу слова.