«умудряюсь» по составу

Части слова: у/мудр/я/ю/сь
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
у — приставка,
мудр — корень,
я, сь — суффиксы,
ю — окончание,
умудря + сь — основа слова.

Примечание: сь является словообразующим суффиксом (постфиксом) и входит в основу слова.