«чагатайский» по составу

Части слова: чагатай/ск/ий

Состав слова (морфемы):
чагатай — корень,
ск — суффикс,
ий — окончание,
чагатайск — основа слова.

Итоговая схема:
чагатай (корень) + ск (суффикс) + ий (окончание).