«читаешься» по составу

Части слова: чит/а/ешь/ся
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
чит — корень,
а, ся — суффиксы,
ешь — окончание,
чита + ся — основа слова.

Примечание: ся является словообразующим суффиксом (постфиксом) и входит в основу слова.