«щебетуньей» по составу

Части слова: щебет/унь/ей
Часть речи: имя существительное.

Состав слова (морфемы):
щебет — корень,
унь — суффикс,
ей — окончание,
щебетунь — основа слова.

Итоговая схема:
щебет (корень) + унь (суффикс) + ей (окончание).

Дополнительно:

• Окончание: ей
  — типичное окончание существительного женского рода, одушевлённого, единственного числа в творительном падеже.