«гастролировали» по составу

Части слова: гастрол/ир/ова/л/и
Часть речи: глагол

Состав слова (морфемы):
гастрол — корень,
ир, ова, л — суффиксы,
и — окончание,
гастролирова — основа слова.

Примечание: л является формообразующим суффиксом и не входит в основу слова.